怎么来理解伽玛(gamma)分布?

Gamma分布即为多个独立且相同分布(iid)的指数分布变量的和的分布。
(最新修改,希望能够行文布局更有逻辑)

——————泊松过程——————
指数分布泊松分布的关系十分密切,是统计学中应用极大的两种分布。
其中泊松过程是一个显著应用。

泊松过程是一个计数过程,通常用于模拟一个(非连续)事件在连续时间中发生的次数。
[公式]为一个泊松过程,则其满足三个性质:
[公式](t=0时什么都没发生)

[公式](增量)之间互相独立:
扩展补充:[公式][公式]互相独立,且在计数过程中
[公式]
[公式]
这是因为
[公式]
[公式]
[公式]

[公式]
[公式]
根据增量独立性,易知其成立。

——————泊松→指数——————
假设[公式]为第[公式]次事件与第[公式]次事件的间隔时间。
[公式]
所以[公式]

[公式]
所以[公式]

即泊松过程的事件间隔时间为指数分布。

——————指数→Gamma—————
再令[公式],即从头开始到第[公式]次事件的发生的时间,该随机变量分布即为Gamma分布。
[公式]
Gamma分布即为多个独立且相同分布(iid)的指数分布变量的和的分布。

——————证明——————
假设[公式]且互相独立

①Moment Generating Function(MGF):
MGF的定义为[公式]
[公式]
其性质为[公式]

下证:
[公式]
[公式]
[公式]
为Gamma分布的MGF。
MGF:Moment-generating function

②数学归纳法:
已知[公式]
所以当[公式]时成立。
假设[公式][公式]成立
[公式]时,
[公式]
其中[公式]
[公式]
[公式]
[公式]
[公式]
[公式]
[公式]
[公式]的pdf。证毕。当然,Gamma分布与Beta,Chi-square分布也有着十分紧密的联系,不过在统计学应用中都不如与指数分布的联系来得重要。

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