听数学家讲物理——再谈朗道阻尼 精选

听数学家讲物理——再谈朗道阻尼 精选

已有 21944 次阅读 2011-12-7 21:49 |个人分类:学海无涯|系统分类:科研笔记| 物理, 数学家, 菲尔兹奖, 朗道阻尼

李泳老师写了《数学家说物理》。想起笔者前些日子有幸听了数学家讲物理。

 

这位数学家是去年的Fields Medal的得主,Henri Poincaré Institute法国数学家Cédric Villani。他得奖的Citation是:

 

“For his proofs of nonlinear Landau damping and convergence to equilibrium for the Boltzmann equation.”

 

今年美国物理学会等离子体物理分会的年会特地请他来做Tutorial Talk。下图是在Wiki上他的照片。

 

                      

      

 

笔者在《关于Landau阻尼》一文中说过:

“笔者觉得,朗道阻尼的发现可以说是等离子体物理中最杰出的理论工作之一,但也是讲授等离子体物理时最困难的部分。目前能够看到的等离子体物理教科书(是至少中文的和英文的),都没有把这一部分写好。”

 

数学上,这个工作很漂亮——朗道(Lev Landau)的证明一如既往地条理清晰、无懈可击。但是物理上如何解释这一“阻尼”现象?“当年朗道阻尼提出的时候,就很难为物理学家们所接受——主要是因为:Vlasov方程本身是无碰撞的,可逆的;而朗道阻尼给出的指数衰减显然是不可逆的。UMCP的吴京生教授回忆过当年他读博士的时候,参加过的一次美国物理学会年会:一位报告人讲完他利用朗道阻尼做的一个工作后,一个非常有名望的物理学家站起来说:How many times do I have to tell you?! There is no such a thing called ‘Landau Damping’! ——我必须告诉你多少次(你才能记住)?!(世界上)根本没有朗道阻尼这码事!

 

现在教科书上一般的解释是:

关于朗道阻尼的物理机制,普遍认为是波—粒子相互作用引起的。以静电扰动为例,当一种波扰动在等离子体中传播时,其静电势场会“捕获”与其相速度接近的粒子一起运动(即在波的坐标系中,这些粒子会在势场的“峰”之间来回“振荡”),形成相空间轨道的“岛”状结构。我们称这些粒子为“捕获粒子”trapped particles)。经过一段时间的相混合,速度快于相速度的捕获粒子被减速、慢于相速度的被加速,使得粒子的速度分布函数在波的相速度附近被展平flattened)。如果分布函数在这一区域是随速度递减的(一般都是这种情况,比如Maxwellian分布),则被加速粒子比被减速的粒子多,粒子们得到了能量——这些能量显然是波提供的。所以波被“阻尼”。反之,如果分布函数在波的相速度附近是随速度递增的,粒子们就失去能量,而波则得到能量增长起来。

 

这是波和粒子“能量交换”导致阻尼的观点。下面是相空间里“捕获粒子”和“通行粒子”相轨迹的示意图。

 

 

但是,从这个图可以看出,即使是“捕获粒子”,其相轨迹也是可逆的。即使是长时间的“平均”,如何实现“相混合”?而且Villani在数学上证明,扰动的“久期”行为是随时间代数增长,“长时间”结果已经进入非线性阶段!

 

如何解决这一问题?Villani引入了一个称为“regularity”的量,发现对于足够小的扰动,粒子与波之间发生“regularity”而非能量的交换。则在非线性阶段导致Landau阻尼。

 

事实上,从拓扑上看,每条“捕获粒子”相轨迹都是“稳定”的(即无论多久,仍是原来那条椭圆线;上面的粒子的运动是“确定”的)。对“通行粒子”更是如此。唯一具有“不确定性”的,可能导致“随机”行为的是初始就在分形线(separatrix)上的那些粒子。但是,第一:分形线的“测度”为零,所以这些“不确定”轨道上的粒子所占的比例也趋向零;第二:尽管分形线上粒子运动的轨迹是不确定的,但是分形线本身在线性阶段是拓扑不变的——除非扰动幅度的改变使得“通行粒子”被捕获或者“捕获粒子”被“释放”成为“通行粒子”,引起分形线上的“重联”。但是这种扰动幅度的变化被解释成Landau阻尼的“后果”——逻辑上不自洽!

 

那么,怎么才能使有限测度的相轨迹变成“不确定”?或者说,随机性(stochastics)是如何引入了?

 

这只能发生在准线性阶段:在一定的频率区间有几个相邻频率的静电扰动。那么,因为它们的频率、相速度相近,这些“相岛”在准线性阶段会相互“重叠”(overlap)。一个“相岛”的分形线会与其相邻“相岛”中“捕获粒子”的相轨迹(那些椭圆线)相交,使得那些“捕获粒子”都成为“不确定”的。正是这种“相空间有限测度”的不确定性导致了相轨迹的“混合”和分布函数在这一具有不确定性的“相空间有限测度”上的展平。用Villani的语言,就是在线性阶段,基本上整个相空间都具有“regularity”,仅仅在具有零测度的分形线上有所谓“irregularity”。但是在准线性阶段,一旦“相岛”的重叠(overlap)发生,扰动把“irregularity”传递给有限个粒子的相轨迹,Landau阻尼就发生了。

 

这是笔者个人的理解。没有来得及和Villani讨论。另外,这里说的“准线性”和“非线性”与Villani所用的数学上的非线性不同。在所谓“准线性”阶段,对单一扰动来说,已经是非线性的了;但是我们只讨论波与粒子的相互作用。“非线性”则需要考虑波与波之间的相互作用。

 

另,Villani的Talk结束后,提问阶段Princeton的秦宏老师就问过为什么不用能量这样的好的守恒量来描述。事实上,根据波与粒子相互作用的理论,可以计算出波与粒子之间的能量转移以及总的能量守恒。所以能量与regularity的关系还是很值得进一步研究的。

还要谢谢xiehuasheng同学,这里是他给的链接,可以找到Landau的原文英译——重要的思想还是要看原始文献的:

http://ifts.zju.edu.cn/forum/viewtopic.php?f=4&t=473

转载本文请联系原作者获取授权,同时请注明本文来自王晓钢科学网博客。

链接地址:
https://blog.sciencenet.cn/blog-39346-515967.html

上一篇:
盐湖的冬日景色

下一篇:
最后一次课

收藏