當你獃滯的凝望着題目時,題目在得意洋洋地望着你…(習題五 難度較大,斟酌察看)

頭圖(康娜醬最可愛\(//∇//)\)

前幾天的題目都是一系列的代數計算,或者是代數與幾何綜合的習題。我們今日來練習立體幾何的證明題。

高中的幾何證明主要集中在立體幾何這一塊,那麼如何快速的把題目所給的問題迅速解決好呢?首先我們必須要對各種定理、性質、結論非常熟悉,還要會靈活運用。其二就是注重證明的邏輯性,很多時候我們大致可以將我們的思路呈現在答卷上,但是我們的邏輯是不清楚的。這一點我非常有話說,就是我們習慣性的思維是想到一步寫一步,並不會把整道題都想清楚再動筆。正確的做法是將思路先譽寫在草稿紙上並在草稿紙上進行一系列的邏輯錯誤修改,最後再將完整的過程抄在答卷上。如果你的思路無誤,又書寫比較工整,證明題滿分應該是沒有問題的。

說了那麼多理論,讓我們實際操作一下,來看一下今日的習題!

立體幾何

(閱讀到這裏時,還是先建議你把原圖在草稿紙上畫一遍,這樣子邊看文章邊看題效果會更好喲🤔🤔)

在這裏給大家先說明立體幾何在高考中的地位。立體幾何在高考中是大題的第二道,分值一般是12分。這12分是本科的分水嶺,拿到了就基本可以上大學,拿不到…(你懂的)。高考中對於立體幾何的考查,主要集中在高二會學的空間向量法,這是一個極其萬能的代數方法。很不厚道的說一句,如果你只掌握這一個方法,其他邏輯性的證明方法不太會也可以。但是我們仍要注重邏輯性的非代數證明,在說理的過程中可以強化數學思維。今年的高考立體幾何12分共兩小問,第一問考查線面垂直,第二問考察二面角這兩種知識點。

我們接下來對今日的習題進行分析。

 第一問 讓我們我們證明線線平行。當我們看到線線平行這樣的關鍵字眼時,腦海里應該立即閃過線線平行的證明方法。我們應該清楚,所有的線線平行都是用線面平行或面面平行等各種性質來證明的。證明方法總體來說有四種,其一是線面平行的性質;其二是面面平行的性質;其三是傳遞性;其四是平行線分線段成比例的逆定理。下面用示例圖一大致回顧一下四種證明線線平行的方式:

線線平行的證明方法(本人親筆書寫,還算工整…)

我們發現在題目中,l是兩個面的交線,又因為CD平行於AB,可以推出CD平行於面PAB。此時我們可以考慮用線面平行的定理證明線線平行,具體來說就是CD與過CD的平面(面PCD)與面PAB的交線互相平行。分析的過程略有抽象,具體操作步驟用答圖一來呈現:

答圖一(步驟非常少,分值卻有五分)`

第二問 是存在性問題,讓我們在棱PC上取一點F,使得BF平行於面AEC。它的本質是證明線面平行,只是多繞了一個彎。我們先不理睬題目中的問題,先來回憶一下有什麼方法可以去證線和面平行?方法有兩種,一是用線面平行的判定去證明,二是用面面平行的性質去證明。我們用下圖大致回顧一下兩種證明方法:

線面平行的判定方法

因此我們只有兩種思路去解決這道題目。在進行證明前,我們需要做出一點嘗試,也就是先確定點F的位置。如果你有做題經驗的話,一定先會取棱PC的中點,如果終點不滿足題意的話,再取PC的三等分點、四等分點依次類推。這個步驟理論上非常簡單,但是需要我們去耐心的一步一步推導,一開始接觸這種點的存在性問題時,有時候半個小時一個小時都想不出來,一定要堅持去想,這樣做的目的是積累做題經驗,下一次看到類似的題目就直接取端點證明了。

那麼這道題還算和藹,我們發現當我們取棱PC的中點時,是滿足BF平行於面AEC的。此時F的位置如答圖二所示:

答圖二

取好了點,接下來的工作就是證明。大致觀察圖像后,發現如果用線面平行的判定方式去證,我們很難在對應面AEC上找出一條線和BF平行,因此我們考慮用面面平行的性質去證明。用面面平行的性質證明的核心思想就是將孤立的線放在一個平面內,然後證明兩個面是平行的。

因此我們考慮再取PE的中點M構造BFM這個平面,構造完后的圖形如答圖三所示:

答圖三

接下來請各位同學再回憶,想要證明面面平行平行,有幾種方法?方法也只有兩種,其一是用面面平行的判定定理證明,其二是用傳遞性證明。兩種判定方法的簡要圖示如下圖所示:

面面平行的判定

很明顯,想要判定面BFM平行於面AEC,需要找面BFM中的兩條相交線段分別和另外一個面平行。用平行線分線段成比例的逆定理,我們很容易知道線段FM是平行於線段CE的,BF是我們要證明的題目結論,因此我們只能去證明BM平行於面AEC,經過一番分析之後,考慮連接BD,BD與AC交於點N並且連接NE。此時的圖形如答圖四所示

答圖四

我們發現E是MD中點,N是BD的中點,因為底面是一個平行四邊形,NE是三角形BMD的一條中位線,於是就有NE平行於BM。

∵BM∥NE,MF∥EC→面BMF∥面AEC

又BF包含於面BMF→BF∥面AEC!!!

於是這道題就證明完畢了,放下筆的那一刻,有沒有一種攀登至山巔的感覺?

今日的題目思維邏輯性很強,題目的邏輯鏈非常長,但是通過一道題目,我們複習了立體幾何中所有證明平行的方法,一勞永逸,非常值得。希望各位多多斟酌體會。

那麼寫完這篇文章時間已經過去了一個半小時了,我製作這篇文章還算用心,也是也是幾經思考才敢把經驗告訴同學們,希望各位在看完之後可以點贊或投幣,也算是對我製作文章的一種鼓勵吧!

最後還是放圖的環節,今天來一張DDLC全體成員的照片

DDLC

就到這裏結束了…


【劍三】(明毒)我是你的誰(二十四)

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